equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Equação de Hamilton–Jacobi

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$\delta S=\sum _{k=1}^{N}p_{k}\delta q_{k}$ .

Na mecânica quântica, a Representação de Dirac ou Representação de Interação é uma intermediação entre a Representação de Schrödinger e a Representação de Heisenberg. Considerando que nas outras duas representações ou o vetor do estado quântico ou o operador possuem dependência com o tempo, na Representação de Dirac ambas possuem parte da dependência do tempo dos observáveis.

Equações que incluem operadores agindo em tempos distintos, que são comportadas na Representação de Dirac, não necessariamente serão comportados nas representações de Schrödinger e Heisenberg. Isto é porque transformações unitárias do tempo se relaciona com operadores de uma representação com o operador análogo da outra representação.

Definição

Operadores e vetores dos estados quânticos na Representação de Dirac são relacionados pela mudança de base para aqueles operadores e vetores na Representação de Schrödinger.^[1]

Para alternar na Representação de Dirac, nós dividimos o hamiltoniano da Representação de Schrödinger em duas partes, $H_{S}=H_{0,S}+H_{1,S}$ . Qualquer escolha das partes nos dará uma Representação de Dirac válida, mas para nos ser útil na simplificação do problema, as partes serão escolhidas de forma que $H_{0,S}$ será facilmente resolvido e $H_{1,S}$ conterá as partes mais difíceis de analisar deste sistema.

Se o hamiltoniano for dependente do tempo (por exemplo, se o sistema quântico interagir com um campo elétrico aplicado externo que varia com o tempo), normalmente nos será vantajoso incluir explicitamente os termos dependentes do tempo com $H_{1,S}$ , deixando o $H_{0,S}$ independente do tempo. Nós iremos assumir que este será o caso. (se existir um contexto em que isto faça sentido ter um $H_{0,S}$ dependente do tempo, então deve-se trocar $e^{\pm iH_{0,S}t/\hbar }$ pelo operador de evolução).

Vetor do estado quântico

O vetor do estado quântico na Representação de Dirac é definido como^[2]

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle

Onde $|\psi _{S}(t)\rangle$ é o mesmo vetor da Representação de Schrödinger.

Operadores

Um operador na Representação de Dirac é definido como

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

A_{I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }A_{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }.

Perceba que $A_{S}(t)$ não será dependente de t e pode ser reescrito como $A_{S}$ .

Operador hamiltoniano

Para o operador $H_{0}$ a Representação de Dirac e Schrödinger são idênticas

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

H_{0,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{0,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=H_{0,S}

Isto pode ser comprovador usando o facto que os operadores comutáveis com funções diferenciáveis. Este operador em particular também pode ser escrito da forma $H_{0}$ sem ambiguidade.

Para a perturbação hamiltoniana $H_{1,I}$ , teremos

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

H_{1,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{1,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }

onde a perturbação hamiltoniana da Representação de Dirac se torna um hamiltoniano dependente do tempo (a não ser que $[H_{1,s},H_{0,s}]=0$ ).

É possível de se obter a Representação de Dirac para um hamiltoniano dependente do tempo $H_{0,s}(t)$ , mas os exponencias precisam ser substituídos pelo propagador unitário devido para $H_{0,s}(t)$ ou mais explícito com uma integral exponencial ordenada pelo tempo.

Matriz densidade

A matriz densidade pode se demonstrada transformando a Representação de Dirac da mesma forma como qualquer outro operador. Em particular, deixe $\rho _{I}$ e $\rho _{S}$ ser a matriz de densidade na Representação de Dirac e na Representação de Schrödinger, respectivamente. Se existe possibilidade de $p_{n}$ ser no estado físico $|\psi _{n}\rangle$ , então

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\rho _{I}(t)=\sum _{n}p_{n}(t)|\psi _{n,I}(t)\rangle \langle \psi _{n,I}(t)|=\sum _{n}p_{n}(t)e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{n,S}(t)\rangle \langle \psi _{n,S}(t)|e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=e^{iH_{0,S}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }

Equações da evolução temporal

Estados da evolução temporal

Transformando a Equação de Schrödinger numa Representação de Dirac teremos:

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t)\rangle =H_{1,I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle .

Esta equação se refere à equação Schwinger-Tomonaga.

Operadores da evolução temporal

Se o operador $A_{S}$ é independente do tempo então a evolução temporal correspondente para $A_{I}(t)$ é dada por

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{I}(t)=\left[A_{I}(t),H_{0}\right].\;

Na Representação de Dirac os operadores evoluem no tempo como os operadores da Representação de Heisenberg com o hamiltoniano $H'=H_{0}$ .

Evolução temporal da matriz densidade

Transformando a equação de Schwinger-Tomonaga na linguagem da matriz densidade teremos

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{I}(t)=\left[H_{1,I}(t),\rho _{I}(t)\right].

Usos da Representação de Dirac

O propósito da Representação de Dirac é nos desviar de toda dependência do tempo devido o H₀ dos operadores, deixando apenas H_{1, I} afetando a dependência do tempo dos vetores do estado quântico.

A Representação de Dirac é conveniente quando considerado o efeito de uma pequena interação, H_{1, S}, sendo somado ao hamiltoniano de um sistema solucionado, H_{0, S}. Pela troca na Representação de Dirac, nós podemos usar a teoria perturbacional dependente do tempo para encontrar o efeito de H_{1, I}.

Na mecânica quântica, uma função de estado é uma combinação linear (uma superposição) de valor próprio. Numa Representação de Schrödinger, o estado de um sistema evolui com o tempo, onde a evolução para um sistema quântico fechado é provocada por operador unitário chamado de operador da evolução temporal. Isto difere de uma Representação de Heisenberg onde os estados são constantes enquanto os observáveis evoluem com o tempo. As estatísticas de medição são as mesmas em ambas as representações.

O operador de evolução temporal

Definição

O operador de evolução temporal U(t,t₀) é definido como:

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

|\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle

Isto é, quando este operador está agindo no estado "ket" em t₀ no dá o estado "ket" em um tempo t. Para "bras", nós temos:

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})

Propriedades

Primeira propriedade

A operador da evolução temporal deve ser unitário. Isto é necessário porque nós precisamos que a norma do estado "ket" não mude com o tempo. Isto é,

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle

Em consequência disto,

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I(U(t,t_{0})).

Segunda propriedade

Distintamente U(t₀,t₀) = I, a função identidade. Como:

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

|\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle

Terceira propriedade

A evolução temporal de t₀ para t pode ser vista como a evolução temporal de t₀ para um tempo t₁ indeterminado e de t₁ para o tempo final t. Então conclui-se:

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0})\!

Equação diferencial para o operador da evolução temporal

Se dermos, por convenção, o índice t₀ no operador da evolução temporal de forma que t₀ = 0 e escrevermos isto com U(t). A Equação de Schrödinger pode ser re-escrita da seguinte forma:

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

i\hbar {d \over dt}U(t)|\psi _{e}(0)\rangle =HU(t)|\psi _{e}(0)\rangle

Onde H é o Hamiltoniano para o sistema. Como $|\psi (0)\rangle$ é uma constante de ket (o estado ket é da forma t = 0), nós vemos que o operador da evolução temporal obedece a Equação de Schrödinger:

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

i\hbar {d \over dt}U(t)=HU(t)

Se o hamiltoniano independe do tempo, a solução da equação acima será:

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

U(t)=e^{-iHt/\hbar }.

Onde nós também usamos o facto que t = 0, U(t) precisa reduzir para a função identidade. Assim obteremos:

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

|\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle \,.

Perceba que $|\psi (0)\rangle$ é um ket arbitrário. Apesar de que, se o ket inicial é um valor próprio do hamiltoniano, com o valor próprio E, nós temos:

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

|\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle \,.

Assim, vemos que os valores próprios do hamiltoniano são estados estacionários, eles apenas escolhem um fator de fase global já que eles evoluem com o tempo. Se o hamiltoniano é dependente do tempo, mas os hamiltonianos de diferentes tempo comutam, então o operador da evolução temporal pode ser escrito da forma:

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t^{'})\,dt^{'}}\right)\,.

Uma alternativa para a Representação de Schrödinger é trocar para uma rotação de referências de quadros, que seja rotacionada pelo propagador do movimento. Desde que a rotação ondulatória seja agora assumida pelo próprio referencial, uma função de estados não perturbados surge para ser verdadeiramente estáticos.

Na física a Representação de Heisenberg, desenvolvida pelo físico Werner Heisenberg, é a formulação da mecânica quântica onde os operadores (observáveis) são dependentes do tempo e o estado quântico são independentes do tempo. Isto demonstra o contraste com a Representação de Schrödinger na qual os operadores são constantes e o estado quântico se desenvolve no tempo. Estas duas representações apenas se diferem pela mudança na dependência do tempo. Formalmente falando a Representação de Heisenberg é a formulação da mecânica matricial numa base arbitrária, onde o Hamiltoniano não é necessariamente diagonal.

Detalhes matemáticos

Na Representação de Heisenberg da mecânica quântica o estado quântico, $|\psi \rangle$ , não se modifica com o tempo, e um observador A satisfaz a equação

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{\frac {d}{dt}}A(t)={i \over \hbar }[H,A(t)]+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right),

onde H é o hamiltoniano e [·,·] é o comutador de A e H. Em certo sentido, a Representação de Heisenberg é mais natural e fundamental que a Representação de Schrödinger, especialmente para a teoria da relatividade geral e restrita.

A similaridade da Representação de Heisenberg com a física clássica é facilmente identificada ao trocar o comutador da equação acima pelos Parênteses de Poisson, então a equação de Heisenberg se tornará uma equação da mecânica hamiltoniana.

Derivando a equação de Heisenberg

Suponha que nós tenhamos um observador A (que é um operador autoadjunto). O valor esperado de A para um dado estado $|\psi (t)\rangle$ é dado por:

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A|\psi (t)\rangle

ou se nós escrevermos a seguinte Equação de Schrödinger

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

|\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle

(onde H é o hamiltoniano independente do tempo e ħ é a Constante de Planck dividida por 2·π) nós teremos

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle ,

e então nós definiremos

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

A(t):=e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }.

Agora obteremos

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{d \over dt}A(t)={i \over \hbar }He^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)+{i \over \hbar }e^{iHt/\hbar }A\cdot (-H)e^{-iHt/\hbar }

(diferenciando de acordo com a regra do produto)

={i \over \hbar }e^{iHt/\hbar }\left(HA-AH\right)e^{-iHt/\hbar }+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)={i \over \hbar }\left(HA(t)-A(t)H\right)+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)

(a última passagem é válida já que $e^{-iHt/\hbar }$ comuta com H.) Nós agora estamos à esquerda da Equação de Heisenberg do movimento

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{d \over dt}A(t)={i \over \hbar }[H,A(t)]+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)

(onde [X, Y] é o comutador dos dois operadores e definidos como [X, Y] := XY − YX).

Agora, se nós fizermos uso do operador de igualdade

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots

Nós veremos que para um observador independente do tempo A, nós obteremos:

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A]]]+\dots .

Devido ao relacionamento entre os Parênteses de Poisson e os comutadores, esta relação também obedece à mecânica clássica.

Relacionamento do comutador

O relacionamento do comutador é bastante diferente à Representação de Schrödinger por causa da dependência do tempo dos operadores. Por exemplo, considere os operadores $x(t_{1}),x(t_{2}),p(t_{1})$ e $p(t_{2})$ . A evolução no tempo destes operadores depende do hamiltoniano deste sistema. Para um oscilador harmônico de uma dimensão

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}

A evolução da posição e do operador do momento é dada por:

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{d \over dt}x(t)={i \over \hbar }[H,x(t)]={\frac {p}{m}}

{d \over dt}p(t)={i \over \hbar }[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x

Pela diferenciação de ambas equações e solucionando com as devidas condições iniciais

{\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0}

{\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}}

nos leva a:

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{\omega m}}\sin(\omega t)

p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x_{0}\sin(\omega t)

Agora nós estamos prontos para diretamente comutar a relação do comutador:

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

[x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})

[p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})

[x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})

Perceba que para $t_{1}=t_{2}$ , simplesmente obteremos a já conhecida relação de comutação canônica.

Notação Bra-ket é uma notação padrão para descrever estados quânticos na teoria da mecânica quântica. Ela também é utilizada para denotar vetores e funcional linear abstratos na matemática pura. É assim chamada por ser o produto interno de dois estados denotados por um bracket, $\langle \phi |\psi \rangle ,$ consistindo de uma parte esquerda, $\langle \phi |,$ denominada bra, e uma parte direita, $|\psi \rangle ,$ denominada ket. A notação foi criada por Paul Dirac, e por isso é também conhecida como notação de Dirac.^[1]^[2]^[3]

Bras e kets

Uso mais comum: Mecânica quântica

As componentes reais do vetor 3D e a projeção da base; semelhanças entre cálculo notação vetorial e notação de Dirac.

Em mecânica quântica, o estado físico de um sistema é identificado como um raio unitário em um espaço de Hilbert separável complexo, ${\mathcal {H}},$ ou, equivalentemente, por um ponto no espaço de Hilbert projetado de um sistema. Cada vetor no raio é chamado um "ket" e escrito como $|\psi \rangle ,$ que deve ser lido como "psi ket".^[4]

O ket pode ser visualizado como um vetor coluna e (dada uma base para o espaço de Hilbert) escrito por extenso em componentes,

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

|\psi \rangle =(c_{0},c_{1},c_{2},...)^{T},

quando o espaço de Hilbert considerado possuir finitas dimensões. Em espaços de dimensão infinita, há infinitas componentes e o ket deve ser escrito em notação de função, precedido por um bra (veja abaixo). Por exemplo,

equação tensorial quântico Graceli

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\langle x|\psi \rangle =\psi (x)=ce^{-ikx}.

Todo ket $|\psi \rangle$ possui um bra dual, escrito como $\langle \psi |.$ Por exemplo, o bra correspondente ao $|\psi \rangle$ acima deve ser um vetor linha

\langle \psi |=(c_{0}^{*},c_{1}^{*},c_{2}^{*},...).

Isto é um funcional linear contínuo de $�$ para os números complexos $\mathbb {C} ,$ definido por:

\langle \psi |:H\to \mathbb {C} :\langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)=\operatorname {IP} \left(|\psi \rangle \;,\;|\rho \rangle \right)

para todo ket

|\rho \rangle

onde $\operatorname {IP} (\cdot ,\cdot )$ denota o produto interno definido sobre o espaço de Hilbert.Aqui, uma vantagem da notação bra-ket torna-se clara: quando removemos os parênteses (como é comum em funcionais lineares) e fundimos junto com as barra, obtemos $\langle \psi |\rho \rangle ,$ que é a notação comum para produto interno no espaço de Hilbert. Esta combinação de um bra com um ket para formar um número complexo é chamada bra-ket ou bracket.

Em mecânica quântica a expressão $\langle \phi |\psi \rangle$ (matematicamente o coeficiente para a projeção de $\psi$ em $\phi$ ) é tipicamente interpretada como a amplitude de probabilidade para o estado $\psi$ para o colapso no estado $\phi .$ ^[5]^[6]^[7]^[8]

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Segunda propriedade

Terceira propriedade

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